Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

3

，a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n，S_n表示数列{a_n}前n项之和．
（1）求证：S_n＜1；
（2）当n≥M时，n²•a_n＜1恒成立，求M的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，首先判断数列{a_n}的任何一项都不为0，再化简a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n为

1

an+1

-1=2（

1

an

-1），从而可得{

1

an

-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求a_n=

1

2n+1

，再由放缩法证明S_n＜1；
（2）由指数函数y=2^x与幂函数y=x²的图象可知，当x＞4时，2^x＞x²，只需验证前四项即可，从而求出M的最小值．

解答： 解：（1）证明：∵a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n，
∴a_n+1（2-a_n）=a_n，
又∵a₁=

1

3

，∴a_n≠0；
则由a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n可得，
1=2

1

an

-

1

an+1

，
故

1

an+1

-1=2（

1

an

-1），又∵

1

a1

-1=2，
∴{

1

an

-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴

1

an

-1=2ⁿ，
∴a_n=

1

2n+1

，
则S_n=

1

3

+

1

5

+

1

9

+…+

1

2n+1

＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1；
（2）由指数函数y=2^x与幂函数y=x²的图象可知，
当x＞4时，2^x＞x²，
n²•a_n=

n2

2n+1

，
又∵当n=1时，

n2

2n+1

=

1

3

，成立；
当n=2时，

n2

2n+1

=

4

5

，成立；
当n=3时，

n2

2n+1

=1，不成立；
当n=4时，

n2

2n+1

=

16

17

，成立；
故若使当n≥M时，n²•a_n＜1恒成立，
则M≥4，故M的最小值为4．

点评：本题考查了学生对指数函数与幂函数增长性的认识，同时考查了数列的通项公式即前n项和公式的应用，同时考查了放缩法证明不等式，属于基础题．