Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（

3

，0），离心率e=

3

，A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c= 3 e= c a = 3

，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出直线AB的方程．
（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P．只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可得到A、B、C、D四点共圆．

解答： 解：（1）依题意得

c= 3 e= c a = 3

，解得a=1．（1分）
所以b²=c²-a²=3-1=2，（2分）
故双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x 2 1 - y 2 1 2 =1 x 2 2 - y 2 2 2 =1

．
两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=

1

2

(y1-y2)(y1+y2)，（4分）
由题意得x₁≠x₂，x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，（5分）
所以

y1-y2

x1-x2

=

2(x1+x2)

y1+y2

=1，即k_AB=1．（6分）
故直线AB的方程为y=x+1．（7分）
（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P．
∵AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上，
又CD为圆P的弦且垂直平分AB，
圆心P为CD中点M．（8分）
下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可．
由

y=x+1 x2- y2 2 =1

，得：A（-1，0），B（3，4）．（9分）
由（1）得直线CD方程：y=-x+3，（10分）
由

y=-x+3 x2- y2 2 =1

，得：C（-3+2

5

，6-2

5

），D（-3-2

5

，6+2

5

），（11分）
∴CD的中点M（-3，6）．（12分）
∵|MA|=

4+36

=2

10

，|MB|=

36+4

=2

10

，
|MC|=

20+20

=2

10

，|MD|=

20+20

=2

10

，（13分）
∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，
即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，2

10

为半径的圆上．（14分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查四点共圆的判断与证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．