题目内容
给出下列命题：
①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，c∈R，则a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则
+
≤
；
④若
，则
；
⑤函数y=
的最小值等于2．
其中正确命题的个数为（ ）
①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，c∈R，则a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则
| a |
| b |
| 2 |
④若
|
|
⑤函数y=
| x2+2014 | ||
|
其中正确命题的个数为（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：不等式的解法及应用
分析：命题①②利用作差法比较大小后加以判断；
命题③④通过举反例说明错误；
命题⑤利用函数的单调性求得最小值后判断．
命题③④通过举反例说明错误；
命题⑤利用函数的单调性求得最小值后判断．
解答：
解：对于①，∵a，b∈R+，a≠b，
∴a3+b3-a2b-ab2=a2（a-b）-b2（a-b）=（a-b）2（a+b）＞0．
∴a3+b3＞a2b+ab2．命题①正确；
对于②，∵（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．命题②正确；
对于③，取a=
，b=
，满足a＞0，b＞0，a+b=2，
而
+
=
+
=
+
＞
．命题③错误；
对于④，取x=5，y=1，满足
，但
不成立．命题④错误；
对于⑤，函数y=
=
=
+
，
∵函数y=x+
在[2013，+∞）上为增函数，
∴函数y=
的最小值等于
．命题⑤错误．
∴正确的命题有2个．
故选：B．
∴a3+b3-a2b-ab2=a2（a-b）-b2（a-b）=（a-b）2（a+b）＞0．
∴a3+b3＞a2b+ab2．命题①正确；
对于②，∵（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．命题②正确；
对于③，取a=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
而
| a |
| b |
|
|
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
对于④，取x=5，y=1，满足
|
|
对于⑤，函数y=
| x2+2014 | ||
|
| x2+2013+1 | ||
|
| x2+2013 |
| 1 | ||
|
∵函数y=x+
| 1 |
| x |
∴函数y=
| x2+2014 | ||
|
2014
| ||
| 2013 |
∴正确的命题有2个．
故选：B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，训练了作差法比较两个数的大小，考查了利用基本不等式求最值，关键是注意利用基本不等式求最值的条件，是中档题．
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| x2 |
| 9 |
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| C、3个 | D、无数多个 |