Question

在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos（2A+C）=-

4

5

，sinB=

4

5

，则cos2（B+C）=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：依题意，可求得cos（A-B）=

4

5

，继而可得sin（A-B）=-

3

5

，再由sinB=

4

5

，求得cosB=

3

5

，利用两角和的余弦可求得cosA，于是可求得cos2（B+C）=cos[2（π-A）]=cos2A的值．

解答： 解：在△ABC中，cos（2A+C）=cos[A+（π-B）]=-cos（A-B）=-

4

5

，
所以，cos（A-B）=

4

5

，又A为最小角，C为最大角，
∴A-B＜0，
∴sin（A-B）=-

3

5

；
又sinB=

4

5

，B为锐角，
∴cosB=

1-sin2B

=

3

5

，
∴cosA=cos[（A-B）+B]=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=

4

5

×

3

5

-（-

3

5

）×

4

5

=

24

25

，
∴cos2（B+C）=cos[2（π-A）]=cos2A=2cos²A-1=2×(

24

25

)2-1=

527

625

．
故答案为：

527

625

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查两角和的余弦、二倍角的余弦及同角三角函数间关系式的综合应用，属于中档题．