Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足8Sn=an2+4an+3，且a₂是a₁和a₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{

a

n

}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2

an+3

4(n+1)

，求数列{

b

n

}的前99项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在数列递推式8Sn=an2+4an+3中取n=n-1，得到8Sn-1=an-12+4an-1+3 (n≥2，n∈N)，列式作差后可得{a_n}为公差为4的等差数列，再由已知递推式求得首项，则数列{

a

n

}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{

a

n

}的通项公式代入bn=log2

an+3

4(n+1)

，把数列{

b

n

}的前99项作和后由对数的运算性质化简求值．

解答： 解：（Ⅰ） 由8Sn=an2+4an+3  ①
得8Sn-1=an-12+4an-1+3 (n≥2，n∈N)  ②
由①-②得8a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+4a_n-4a_n-1，
整理得（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0（n≥2，n∈N），
∵{a_n}为正项数列
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=4（n≥2，n∈N），
∴{a_n}为公差为4的等差数列，
由8a1=a12+4a1+3，得a₁=3或a₁=1．
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，不满足a₂是a₁和a₇的等比中项．
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25，满足a₂是a₁和a₇的等比中项．
∴a_n=1+（n-1）4=4n-3．
（Ⅱ）由a_n=4n-3，得bn=log2(

an+3

4(n+1)

)=log2

n

n+1

，
∴b1+b2+b3+…b99=log2

1

2

+log2

2

3

+log2

3

4

+…log2

99

100

=log2

1

2

×

2

3

×

3

4

…×

99

100

=log2

1

100

=-log2100=-2-2log₂5．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了对数的运算性质，是中档题．