已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.(1)若直线x+y+1=0与椭圆相交于P.Q两点.且OP⊥OQ.求此椭圆方程．(2)若另一直线与椭圆C相交于A.B两点.且线段AB恰好为圆(x-2)2+(y-1)2=$\frac{20}{3}$的直径.求椭圆C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）若直线x+y+1=0与椭圆相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求此椭圆方程．
（2）若另一直线与椭圆C相交于A、B两点，且线段AB恰好为圆（x-2）²+（y-1）²=$\frac{20}{3}$的直径，求椭圆C的方程．

分析（1）先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据OP⊥OQ判断出x₁x₂+y₁y₂=0，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出x₁x₂和y₁y₂，根据x₁x₂+y₁y₂=0求得b的值．进而椭圆的方程可得．
（2）求出直线AB的方程，代入x²+2y²=2b²得3x²-12x+18-2b²=0，利用|AB|=$\sqrt{2}$|x₃-x₄|=2•$\sqrt{\frac{20}{3}}$，即16-4•$\frac{18-2{b}^{2}}{3}$=$\frac{40}{3}$，解得b²=8，即可求椭圆方程．

解答解：（1）由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$得a=$\sqrt{2}$b
设椭圆方程为x²+2y²=2b²，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由椭圆与直线x+y+1=0联立可得3x²+4x+2-2b²=0，∴x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{2-2{b}^{2}}{3}$，
∴y₁y₂=（-x₁-1）（-x₂-1）=$\frac{2-2{b}^{2}}{3}$-$\frac{4}{3}$+1=$\frac{1-2{b}^{2}}{3}$
由于椭圆与直线x+y+1=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），
则x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2-2{b}^{2}}{3}$+$\frac{1-2{b}^{2}}{3}$=0
∴b²=$\frac{3}{4}$，a²=$\frac{3}{2}$
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1；
（2）令A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，
∴x₃+x₄=4，y₃+y₄=2，
又A，B均在椭圆C₂上，两式相减得k_AB=-1，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0
将y=-x+3代入x²+2y²=2b²得3x²-12x+18-2b²=0
∴x₃+x₄=4，x₃x₄=$\frac{18-2{b}^{2}}{3}$，
由直线AB与椭圆C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又|AB|=$\sqrt{2}$|x₃-x₄|=2•$\sqrt{\frac{20}{3}}$即16-4•$\frac{18-2{b}^{2}}{3}$=$\frac{40}{3}$，
解得b²=8，故所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．