Question

已知函数f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．当a∈（1，3）时，求证：函数f（x）存在反函数．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：去掉绝对值，化简函数f（x），根据互为反函数的知识，判定函数f（x）是单调函数，即可证明f（x）存在反函数．

解答： 证明：∵当x∈[1，6]，且a∈（1，3）时，
函数f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

-x- 9 x +2a，1≤x＜a x- 9 x ，     a≤x≤6

，
∴当1≤x＜a＜3时，f′（x）=-1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函数；
当a≤x≤6时，f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函数；
∴函数f（x）在[1，a）和[a，6]上存在反函数，
即f（x）在[1，6]上在存在反函数．

点评：本题考查了反函数的问题，根据互为反函数的知识，知函数f（x）是单调函数，f（x）存在反函数；函数f（x）存在反函数，而f（x）不一定是单调函数．