题目内容
已知：A，B，C是直线l上的点，O是直线l外一点，且
-[f(x)+
]
+x3
=
，若当x∈[-1，1]时，af（x）-3x+1≥0恒成立，则实数a的值为 ．
| OA |
| f(1) |
| 3 |
| OB |
| OC |
| 0 |
考点：平面向量的基本定理及其意义,函数恒成立问题
专题：平面向量及应用
分析：由
-[f(x)+
]
+x3
=
，求出f（x）=x3-
，af（x）-3x+1≥0为a（x3-
）-3x+1≥0，分类讨论，分离参数，即可求出实数a的值．
| OA |
| f(1) |
| 3 |
| OB |
| OC |
| 0 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：∵A，B，C是直线l上的点，O是直线l外一点，且
-[f(x)+
]
+x3
=
，
∴f（x）+
-x3=0，
∴f（1）+
-1=0，
∴f（1）=
，
∴f（x）=x3-
，
∴af（x）-3x+1≥0为a（x3-
）-3x+1≥0
（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立
（2）a＜0时，f′（x）=3ax2-3＜0，f（x）是减函数，其最小值为f（1）．
若对x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，则需f（1）≥0
即
a-3+1≥0，
∴a≥
，
∵a＜0，∴此时无解．
（3）a＞0时，f（x）=a（x3-
）-3x+1≥0恒成立，x∈[-1，1]，
①x=0时，-
+1≥0成立，∴a≥4
②0＜x≤1时，a≥
令g（x）=
，求导得g′（x）=
易知0＜x＜
时函数递增，
＜x＜1时递减，
∴g（x）最大值为g（
）=4，
∴a≥4
③-1≤x＜0时，a≤
令g（x）=
，求导得g′（x）=
可知g（x）在-1＜x＜0时是增函数，其最小值为g（-1）=4
∴a≤4
由②知a≥4，
∴a=4．
综上知a=4．
| OA |
| f(1) |
| 3 |
| OB |
| OC |
| 0 |
∴f（x）+
| f(1) |
| 3 |
∴f（1）+
| f(1) |
| 3 |
∴f（1）=
| 3 |
| 4 |
∴f（x）=x3-
| 1 |
| 4 |
∴af（x）-3x+1≥0为a（x3-
| 1 |
| 4 |
（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立
（2）a＜0时，f′（x）=3ax2-3＜0，f（x）是减函数，其最小值为f（1）．
若对x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，则需f（1）≥0
即
| 3 |
| 4 |
∴a≥
| 8 |
| 3 |
∵a＜0，∴此时无解．
（3）a＞0时，f（x）=a（x3-
| 1 |
| 4 |
①x=0时，-
| a |
| 4 |
②0＜x≤1时，a≥
| 3x-1 |
| x3 |
令g（x）=
| 3x-1 |
| x3 |
| -6x+3 |
| x4 |
易知0＜x＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴g（x）最大值为g（
| 1 |
| 2 |
∴a≥4
③-1≤x＜0时，a≤
| 3x-1 |
| x3 |
令g（x）=
| 3x-1 |
| x3 |
| -6x+3 |
| x4 |
可知g（x）在-1＜x＜0时是增函数，其最小值为g（-1）=4
∴a≤4
由②知a≥4，
∴a=4．
综上知a=4．
点评：本题考查平面向量的基本定理，考查导数知识的运用，考查分离参数法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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