Question

已知△ABC周长为c，且它的内切圆半径为r，则三角形的面积为

1

2

cr．类似地，若四面体D-ABC的表面积为6

3

，内切球半径为

1

2

，则其体积是

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：空间位置关系与距离

分析：由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答： 解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，
∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
∴四面体的体积为V_{四面体A-BCD}=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R，
∵四面体D-ABC的表面积为6

3

，内切球半径为

1

2

，
∴V_{四面体D-ABC}=

1

3

•6

3

•

1

2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．