Question

已知向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，函数f（x）=

m

•

n

，若f（x）最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S=5

3

，b=4，f（A）=1，求边a的长．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由周期公式和已知周期可得ω值，进而可得函数的解析式，可得最大值和相应的x；（2）由（1）知f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，可得A=

π

3

，由面积和b=4，可得c=5，代入余弦定理可得a值．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）=

m

•

n

=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+（

3

cosωx）（2sinωx）
=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，函数f（x）取最大值2，
故函数取最大值时相应的x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}
（2）由（1）知f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，解得A=

π

3

，
∴S=

1

2

bc•sin

π

3

=5

3

，化简可得bc=20，又b=4，∴c=5
由余弦定理可得a²=42+52-2×4×5×

1

2

=21
∴a=

21

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的化简运算和解三角形，属中档题．