Question

11．已知数列{a_n}中，${a_1}=1，二次函数f（x）=\frac{1}{2}{a_n}{x^2}+（{2^{-n}}-{a_{n+1}}）x$的对称轴为$x=\frac{1}{2}$．
（1）试证明{2ⁿ•a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由于${a_1}=1，二次函数f（x）=\frac{1}{2}{a_n}{x^2}+（{2^{-n}}-{a_{n+1}}）x$的对称轴为$x=\frac{1}{2}$．可得a_n≠0，$-\frac{{2}^{-n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，化简整理即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵${a_1}=1，二次函数f（x）=\frac{1}{2}{a_n}{x^2}+（{2^{-n}}-{a_{n+1}}）x$的对称轴为$x=\frac{1}{2}$．
∴a_n≠0，$-\frac{{2}^{-n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，化为：2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，
∴{2ⁿ•a_n}是等差数列，首项为2，公差为2．
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n．
（2）解：由（1）可得：a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴S_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．