Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，-2），$\overrightarrow{b}$=（x，y-1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，若x，y均为正数，则$\frac{3}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是8．

Answer 1

分析 根据向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得出2x+3y=3，再根据基本不等式求出$\frac{3}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（3，-2），$\overrightarrow{b}$=（x，y-1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴3（y-1）+2x=0，
即2x+3y=3；
又x，y均为正数，
∴$\frac{3}{x}$+$\frac{2}{y}$=$\frac{2x+3y}{x}$+$\frac{2（2x+3y）}{3y}$=4+$\frac{3y}{x}$+$\frac{4x}{3y}$≥4+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{4x}{3y}}$=8，
当且仅当$\frac{3y}{x}$=$\frac{4x}{3y}$，即2x=3y=$\frac{3}{2}$时取“=”；
∴$\frac{3}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是8．
故答案为：8．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了平面向量的共线问题，是基础题目．