Question

15．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 取BD中点O，连结AO、CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出折后的异面直线AB与CD所成的角．

解答 解：取BD中点O，连结AO、CO，
设正方形ABCD边长为$\sqrt{3}$，∵沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设折后的异面直线AB与CD所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴折后的异面直线AB与CD所成的角为60°．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．