Question

5．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像（排成一排）．
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
（3）记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为ξ，求ξ的概率分布．

Answer 1

分析 （1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，应先排四位成员，再全排列；
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，应先排四位成员，再插空排列；
（3）记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为ξ，知ξ的可能取值，
计算对应的概率值，写出随机变量ξ的概率分布列即可．

解答 解：（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，
应先排四位成员，再全排列，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{3}^{3}$=24×6=144种排法；
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，
应先排四位成员，再插空排列，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{5}^{2}$=24×20=480种排法；
（3）记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4；
计算P（ξ=0）=$\frac{{A}_{2}^{2}{•A}_{5}^{5}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{240}{720}$=$\frac{1}{3}$，P（ξ=1）=$\frac{{A}_{4}^{1}{•A}_{2}^{2}{•A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{192}{720}$=$\frac{4}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}{•A}_{2}^{2}{•A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{144}{720}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{A}_{4}^{3}{•A}_{2}^{2}{•A}_{2}^{1}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{96}{720}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}{•A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{48}{720}$=$\frac{1}{15}$；
则随机变量ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

点评 本题考查了排列数的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是中档题．