Question

7．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，则r=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由已知得r²=r²+r²+2r²cos∠AOB，从而∠AOB=90°，求出圆心（0，0）到直线x+y-2=0的距离，由此能求出半径r．

解答 解：∵直线x+y-2=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，
解：由题意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r，
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角是θ，且θ∈[0，π]，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ，
由题意知：$\overrightarrow{OC}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$，
则${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\frac{16}{25}{\overrightarrow{OA}}^{2}$+$\frac{9}{25}{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2×$\frac{12}{25}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{16}{25}{r}^{2}+\frac{9}{25}{r}^{2}+\frac{24}{25}{r}^{2}cosθ={r}^{2}$，
化简cosθ=0，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
设圆心O（0，0）到直线x+y-2=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，
则d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，即r=2，
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，二倍角的余弦公式，以及向量的数量积运算的灵活应用，考查了转化思想，化简、变形能力．