题目内容
已知函数f（x）=sin（3x+
）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（
）=
cos（α+
）cos2α，求cosα-sinα的值．
| π |
| 4 |
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（
| α |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
考点：两角和与差的余弦函数,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值
分析：（1）令 2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由函数的解析式可得 f（
）=sin（α+
），又f（
）=
cos（α+
）cos2α，可得sin（α+
）=
cos（α+
）cos2α，化简可得 （cosα-sinα）2=
．再由α是第二象限角，cosα-sinα＜0，从而求得cosα-sinα 的值．
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）由函数的解析式可得 f（
| α |
| 3 |
| π |
| 4 |
| α |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
解答：
解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+
），令 2kπ-
≤3x+
≤2kπ+
，k∈Z，
求得
-
≤x≤
+
，故函数的增区间为[
-
，
+
]，k∈Z．
（2）由函数的解析式可得 f（
）=sin（α+
），又f（
）=
cos（α+
）cos2α，
∴sin（α+
）=
cos（α+
）cos2α，即sin（α+
）=
cos（α+
）（cos2α-sin2α），
∴sinαcos
+cosαsin
=
（cosαcos
-sinαsin
）（cosα-sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）=
•（cosα-sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα-sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，此时cosα-sinα=-
．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα-sinα=-
．
综上所述：cosα-sinα=-
或-
．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
求得
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
（2）由函数的解析式可得 f（
| α |
| 3 |
| π |
| 4 |
| α |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
∴sin（α+
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
∴sinαcos
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即 （sinα+cosα）=
| 4 |
| 5 |
又∵α是第二象限角，∴cosα-sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，此时cosα-sinα=-
| 2 |
当sinα+cosα≠0时，此时cosα-sinα=-
| ||
| 2 |
综上所述：cosα-sinα=-
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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设全集为R，集合A={x|x2-9＜0}，B={x|-1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（ ）
| A、（-3，0） |
| B、（-3，-1） |
| C、（-3，-1] |
| D、（-3，3） |
若tanα＞0，则（ ）
| A、sinα＞0 |
| B、cosα＞0 |
| C、sin2α＞0 |
| D、cos2α＞0 |