Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3a_n+2n．
（1）求证：数列{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{

an

2×3n

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式法得出a_n-2=

3

2

（a_n-1-2），即得结论成立；
（2）由（1）得

an

2×3n

=

1

3n

-

1

2n

，利用等比数列求和公式即可得出结论．

解答： 解：（1）由S_n=3a_n+2n，得S_n-1=3a_n-1+2（n-1）（n≥2），
两式相减得a_n=3a_n-3a_n-1+2，即a_n=

3

2

a_n-1-1，
∴a_n-2=

3

2

（a_n-1-2），
又∵S₁=a₁=3a₁+2，∴a₁=-1，a₁-2=-3，
∴数列{a_n-2}是首项为-3，公比为

3

2

的等比数列．
（2）由（1）得a_n-2=-3×(

3

2

)n-1，∴a_n=2-3×(

3

2

)n-1，
∴

an

2×3n

=

1

3n

-

1

2n

，
∴T_n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2n

-

1

2×3n

-

1

2

．

点评：本题主要考查等比数列的定义及等比数列的求和公式，考查学生的运算能力，属中档题．