Question

若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,基本不等式在最值问题中的应用

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：将x+3y=5xy转化为

1

5y

+

3

5x

=1，再由x+y=(

1

5y

+

3

5x

)•（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．

解答： 解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴

1

5y

+

3

5x

=1．
∴x+y=（x+y）•(

1

5y

+

3

5x

)=(

x

5y

+

3y

5x

)+(

3

5

+

1

5

)≥2

x 5y • 3y 5x

+

4

5

=

4+2 3

5

．
当且仅当

x

5y

=

3y

5x

，即x=

3

y时取等号，此时结合x+3y=5xy，
得

x= 3+ 3 5 y= 1+ 3 5

∴x+y≥

4+2 3

5

，可知x+y的最小值为

4+2 3

5

．
故答案为

4+2 3

5

．

点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．