Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，AB=BC=

1

2

PB，∠APB=30°，M为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面AMC；
（2）求锐二面角B-AC-M的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，由已知条件知OM为△PBD的中位线，由此能证明PD∥平面ANC．
?（2）设AB=BC=2，由已知条件推导出

2

sin30°

=

4

sin∠PAB

，从而得到PA⊥AB，且PA=2

3

，取AB的中点F，连接MF，作FG⊥AC，垂足为G，连接MG，由已知条件推导出∠MGF为二面角B-AC-M的平面角，由此能求出二面角B-AC-M的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）证明：连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，
∵?四边形ABCD是平行四边形，∴点O为BD的中点．…（2分）
∵M为PB的中点，∴OM为△PBD的中位线，
∴OM∥PD．?????????…（4分）
∵OM?平面AMC，PD不包含于平面AMC，
∴PD∥平面ANC．…（6分）
?（2）不妨设AB=BC=2，则PB=4．
在△PAB中，

2

sin30°

=

4

sin∠PAB

，
得sin∠PAB=1，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB，且PA=2

3

．…（8分）
∵BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥BC，
∵BC∩AB=B，∴PA⊥平面ABCD．
取AB的中点F，连接MF，则MF∥PA，
且MF=

1

2

PA=

3

．…（10分）???
∴MF⊥平面ABCD．AC?平面ABCD，∴MF⊥AC．
作FG⊥AC，垂足为G，连接MG，MF∩FG=F，
∴AC⊥平面MGF，∴AC⊥MG．
∴∠MGF为二面角B-AC-M的平面角．?…（12分）
在Rt△AFG中，∠BAC=45°，得GF=

2

2

．
在Rt△MGF中，cos∠MGF=

GF

MG

=

2 2

3+ 1 2

=

7

7

．
∴二面角B-AC-M的余弦值为

7

7

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角和余弦值的求法，解题时要注意正弦定理的合理运用．