Question

给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：

 

．
①已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，

OA

，

OB

为不共线向量，又

OP

=a1

OA

+a2014

OB

，若A、B、P三点共线，则S₂₀₁₄=1007；
②“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是“函数y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
③设函数f(x)=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx(x∈[-

π

2

，

π

2

])的最大值为M，最小值为m，则M+m=4027；
④已知函数f（x）=|x²-2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：①由共线向量基本定理求得a₁+a₂₀₁₄=1，由此得到首项和公差的关系，代入等差数列的前n项和公式求得S₂₀₁₄=1007，从而说明①正确；
②由定积分的几何意义求得a=

π

4

，化简函数y=cos²（ax）-sin²（ax），当a=

π

4

时，函数最小正周期为4，反之，a=±

π

4

，由此说明命题②错误；
③化简函数f（x），判断其单调性，由单调性求得最大值和最小值，作和后得到结论正确；
④由函数f（x）=|x²-2|，结合f（a）=f（b），且0＜a＜b，得到动点P（a，b）的轨迹为圆a²+b²=4的左上半圆，从而得到到直线4x+3y-15=0的距离最小的点的坐标，由点到直线的距离公式求得最小值，说明结论错误．

解答： 解：对于①，由

OP

=a1

OA

+a2014

OB

，且A、B、P三点共线，
∴a₁+a₂₀₁₄=1，
∵数列{a_n}为等差数列，设公差为d，则a₁+a₁+2013d=1，
∴a1=

1-2013d

2

，
∴S2014=2014a1+

2014×2013d

2

=2014×

1-2013d

2

+

2014×2013d

2

=1007．
∴命题①正确；
对于②，a=

∫

1 0

1-x2

dx，其几何意义是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，
∴a=

π

4

．
函数y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax=cos

π

2

x，周期T=

2π

π 2

=4．
由y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax，若最小正周期为4，则

2π

|2a|

=4，解得a=±

π

4

．
∴命题②错误；
对于③，函数f(x)=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx(x∈[-

π

2

，

π

2

])
=

2014•2014x+2014-1

2014x+1

+2014sinx=

2014(2014x+1)-1

2014x+1

+2014sinx
=2014-

1

2014x+1

+2014sinx．
∵y=2014^x为增函数，
∴2014-

1

2014x+1

+2014sinx在[-

π

2

，

π

2

]上为增函数，
∴M+m=f(

π

2

)+f(-

π

2

)=4028-

1

2014 π 2 +1

+2014-

1

2014- π 2 +1

-2014=4027．
∴命题③正确；
对于④，∵函数f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故动点P（a，b）在圆a²+b²=4的左上半圆上，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为点（

2

，

2

）到直线4x+3y-15=0的距离，设为d，
则d=

|4 2 +3 2 -15|

42+32

=3-

2

．
∴命题④错误．
∴正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了函数的性质，等差数列的通项公式和前n项和及动点的轨迹问题，考查了学生的灵活变形能力，正确解答该题还需要学生具有较强的运算能力，命题④的判断是易错点，
该题属于难题．