Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=

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2

x，求使f（x）=-

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2

在[0，2 014]上的所有x的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可知f（x+4）=f（x），依题意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，进而求出f（x）=-

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时x的值．再根据函数的周期性求出在[0，2014]上的所有x的个数．

解答： 解：：（1）证明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x，故 f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）．
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），∴f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x＜3

，由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-

1

2

的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014，则

1

4

≤n≤

2015

4

，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2014]上共有503个x使f（x）=-

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的周期性，求函数的解析式，在解题的时候，要注意函数在不同区间上不同的解析式，这是容易出错的地方，属于基础题．