Question

设f（x），g（x）分别是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（-3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（3，+∞）
• B、（-3，0）∪（0，3）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：令F（x）=f（x）g（x），由条件可得F（x）为奇函数，由导数的乘法运算法则，有（f（x）g（x））′＞0，即有x＜0时，函数F（x）递增，则有x＞0时，函数F（x）递增．求出F（-3）=F（3）=0，讨论x＞0，x＜0，应用单调性即可得到所求的解集．

解答： 解：令F（x）=f（x）g（x），
由于f（x），g（x）分别是定义
在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，
则f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
由F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），
则F（x）为奇函数，
由于当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即有（f（x）g（x））′＞0，
即有x＜0时，函数F（x）递增，则有x＞0时，函数F（x）递增．
由于g（-3）=0，则F（-3）=F（3）=0，
不等式f（x）g（x）＜0即为F（x）＜0，
若x＞0，则F（x）＜F（3），即得0＜x＜3；
若x＜0，则F（x）＜F（-3），即得x＜-3．
故原不等式的解集为（0，3）∪（-∞，-3）．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性和应用，考查导数的运算法则的逆用，函数的单调性与导数的符号之间的关系，考查运算能力，属于中档题．