Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx在x=1处取得极值，其中a，m∈R．
（1）求m的值；
（2）若函数y=f（x）在区间[2，4]上不单调，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，由此利用导数性质能求出m的值．
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx，
∴由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，
解得m=1．
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，
当a＞1时，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此时f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）．
当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）．
当a≤0时，由f′（x）＞0得x＞1，此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
综上，当a＞1时，f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）；
当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）；
当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
∵函数y=f（x）在区间[2，4]上不单调，
∴a的取值范围是（2，+∞）∪（0，1）．

点评：本题考查实数的值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．