Question

17．某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x²的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点$F（{0，\frac{1}{4}}）$，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．

Answer 1

分析 （1）由点A（-msinα，mcosα+$\frac{1}{4}$），代入抛物线的标准方程，即可将m表示为关于α的函数；
（2）由题意结合图形，把A、B、C、D四点的坐标分别用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入抛物线方程后最终求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，对三角形面积化简整理，换元后利用配方法求面积的最小值．

解答 解：（1）点A（-msinα，mcosα+$\frac{1}{4}$），
∴mcosα+$\frac{1}{4}$=（-msinα）²，即m²sin²α-mcosα-$\frac{1}{4}$=0．
∵m＞0，∴m=|AF|=$\frac{cosα+1}{2si{n}^{2}α}$；
（2）同理：|BF|=$\frac{1-sinα}{co{s}^{2}α}$，|DF|=$\frac{1-cosα}{2si{n}^{2}α}$，|CF|=$\frac{1+sinα}{2co{s}^{2}α}$．
“蝴蝶形图案”的面积S=S_△AFB+S_△CFD=$\frac{1-sinαcosα}{4（sinαcosα）^{2}}$，
令t=sinαcosα，t∈（0，$\frac{1}{2}$]，
S=$\frac{1-t}{4{t}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$），$\frac{1}{t}≥2$，∴$\frac{1}{t}$=2，S_min=$\frac{1}{2}$，此时$α=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点直线与抛物线的关系、三角函数化简、换元法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．