Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），则下列结论错误的是（　　）

• A、函数f（x）一定存在极大值和极小值
• B、若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上是增函数，则x₂-x₁≥

  2 3

  3

• C、函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与f（x）的图象必有两个不同公共点
• D、函数f（x）的图象是中心对称图形

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,阅读型,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，找到单调区间，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²+12＞0，
∴f′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x=x₁时，函数f（x）取到极大值，x=x₂时，函数f（x）取到极小值，故选项A正确，
②函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函数，
x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2+3

3

≥

2 3

3

，故选项B正确，
③∵f（-

2

3

a-x）+f（x）=

4a3

9

+

2a

3

，f（-

a

3

）=

2a3

9

+

a

3

，
∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），∴（-

a

3

，f（-

a

3

））为对称中心，故选项D正确，
选项A，B，D都正确，利用排除法，选项C错误，
即函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与f（x）的图象可以有一个不同公共点．
故选C．

点评：本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用：求切线和单调区间、极值，是一道综合题．