Question

已知函数f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；
（2）若直线y=-x+2a是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过a=1，化简函数的表达式，利用基本不等式求解f（x）在x∈（0，+∞）时的最大值；
（2）设出切点坐标，求出函数的导数，利用切线的向量为1，推出关系式，通过直线y=-x+2a是曲线y=f（x）的切线，列出方程即可求实数a的值．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=

9x

1+x2

=

9

1 x +x

≤

9

2

，当x=1时取“=”；
（2）设切点（x₀，y₀），则f′(x)=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，
则f′(x0)=

9(1-a x 2 0 )

(1+a x 2 0 )2

=-1，得a2

x

4 0

-7a

x

2 0

+10=0∴a

x

2 0

=2或a

x

2 0

=5…①
又由切线，则f（x₀）=-x₀+2a则：-x0+2a=

9x0

1+a x 2 0

…②
由将①代入②得(-x0+2a)(1+a

x

2 0

)=9x0
若a

x

2 0

=2则x0=±

2 a

：得(2a?

2 a

)(1+2)=±9

2 a

，解得a=2
若a

x

2 0

=5则x0=±

5 a

：得(2a?

5 a

)(1+5)=±9

5 a

，解得a=

5 3 4

4

即a=2或a=

5 3 4

4

点评：本题考查函数的导数的应用，基本不等式的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．