Question

函数f（x）=2sin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：令t=sinx，x∈[

π

6

，

5π

6

]，依题意可得y=2t²+2t-

1

2

，t∈[

1

2

，1]，利用其开口方向向上，对称轴为t=-

1

2

，即可求得其最值

解答： 解：令t=sinx，x∈[

π

6

，

5π

6

]，
依题意可得f（t）=2t²+2t-

1

2

=2（t+

1

2

）²-1，t∈[

1

2

，1]，
∵开口方向向上，对称轴为t=-

1

2

，
∴函数f（t）在[

1

2

，1]单调递增，
∴1≤f（t）≤

7

2

，
∴函数f（x）=2sin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域是[1，

7

2

]，
故答案为：[1，

7

2

]，

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查二次函数的单调性与最值，考查换元思想的应用，属于中档题．