Question

已知二项式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展开式的第五项的系数与第三项的系数的比为30：1．
（1）展开式的所有有理项；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ；
（3）系数的绝对值最大的项（结果可以有组合数、幂）

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）求出二项式的通项公式，并化简，由条件，列方程求得n=12，再化简通项，考虑x的指数为整数的情况，即可得到有理项；
（2）逆用二项式定理，注意添上首项1，即可得到所求值；
（3）根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项．

解答： 解：（1）二项式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

(

x

)n-r(

-2

3 x

)r（r=0，1，…，n）
=

C

r n

(-2)r•x

3n-5r

6

，
由于展开式的第五项的系数与第三项的系数的比为30：1，则

C

4 n

•24：

C

2 n

•22=30：1，
化简得，n²-5n=84=0，解得，n=12（-7舍去）．
则展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
当r=0，6，12时为有理项，
即为T₁=x⁶，T₇=

C

6 12

•26•x=59136x，T₁₃=

C

12 12

•212•x-4=4096x^-4；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ=

C

1 12

+6C₁₂²+36C₁₂³+…+6^12-1C1212
=

1

6

（1+6

C

1 12

+6²C₁₂²+6³C₁₂³+…+6^12C₁₂12）-

1

6

=

1

6

•（1+6）¹²-

1

6

=

712-1

6

；
（3）设第r+1项的系数的绝对值最大，
因为T_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
则

C r 12 2r ≥C r-1 12 2r-1 C r 12 2r ≥C r+1 12 •2r+1

即

2C r 12 ≥C r-1 12 C r 12 ≥ 2C r+1 12

即有

26-2r≥r 24-2r≤1+r

即

23

3

≤r≤

26

3

，则r=8，
则系数的绝对值最大的项为T₉=

C

8 12

•28•x-

2

3

．

点评：本题考查二项式定理及运用，考查二项式的通项公式和运用，考查有理项和系数的绝对值最大的项的求法，考查运算年林，属于中档题．