Question

如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=λCD，点E在BD上，点E在BC上的射影为F，且BE=3ED．
（1）求证：BC⊥平面AEF；
（2）若二面角F-AE-C的大小为45°，求λ的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得DC⊥BC，从而EF∥CD，∠ABF=30°，进而△BAF∽△BCA，由此能证明BC⊥平面AEF．
（2）过F作FG⊥AE于G点，连GC，由已知得∠FGC为F-AE-C的平面角，由此能求出λ=

6

2

．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC
∵EF⊥BC，∴EF∥CD…1′
又∵∠BAC=90°，AC=

1

2

BC，
∴∠ABF=30°，…2′
∴AB=

3

2

BC，

BE

BD

=

BF

BC

=

3

4

，BF=

3

4

BC，
∴

BF

AB

=

AB

BC

=

3

2

，
∴△BAF∽△BCA，∴∠BFA=90°，即AF⊥BC；…5′
∵EF⊥BC，又AF∩EF=F，
∴BC⊥平面AEF．…7′
（2）解：过F作FG⊥AE于G点，连GC
由BC⊥平面AEF，知AE⊥BC，
得AE⊥平面FGC，…9′
所以AE⊥CG，所以∠FGC为F-AE-C的平面角，即∠FGC=45°…11′
设AC=1，则AF=

3

2

，EF=

3

4λ

，CF=

1

2

，
则在RT△AFE中GF=

3

2 3+4λ2

，
在RT△CFG中∠FGC=45°，则GF=CF，
即

3

2 3+4λ2

=

1

2

，解得λ=

6

2

．…14′
（注：若用其他正确的方法请酌情给分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．