Question

已知等差数列{a_n}中，a₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的通项公式和题意，列出关于数列的首项和公差的方程组，解得到公差和首项，代入通项公式化简；
（2）根据（1）先求出数列{a_n}的前n项和，再由a_n的正负项对n进行分类，利用等差数列的前n项和公式，分别化简数列{|a_n|}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，
因为a₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
所以

2a1+25d=15 a1+6d=1

，解得

a1=-5 d=1

，
所以a_n=-5+（n-1）=n-6；
（2）由（1）知a_n=n-6，令a_n=0得n=6，
设T_n=a₁+a₂+…+a_n=-5+（-4）+…+（n-6）
=

n(-5+n-6)

2

=

n(n-11)

2

，
当n≤6时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-

n(n-11)

2

，
当n＞6时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a_n）
=T_n-2T₆=

n(n-11)

2

-2×

6(6-11)

2

=

n2-11n+60

2

，
综上得，S_n=

- n(n-11) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用分类讨论思想求数列的前n项和，这是常考的题型．