Question

已知等差数列{a_n}满足

S9

9

-a₂=6，其中S_n为数列{a_n}的前n项和，若存在两项a_m、a_n使得a_m+a_n=2a₁+12，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：由

S9

9

-a2=6可得d=2，而存在两项a_m、a_n使得a_m+a_n=2a₁+12，则m+n=8．因此

1

m

+

4

n

=

( 1 m + 4 n )(m+n)

8

≥

9

8

（当且仅当n=2m时取“=”），当不等式取“=”时，m=

8

3

、n=

16

3

，此时m、n∉N₊，故分别验证m=2，n=6和m=3，n=5的情形，(

1

m

+

4

n

)min=

17

15

．

解答： 解：由

S9

9

-a2=6可得

a1+a9

2

-a₂=6．a₅-a₂=6，3d=6，d=2，
而存在两项a_m、a_n使得a_m+a_n=2a₁+12，则m+n=8．
因此

1

m

+

4

n

=

( 1 m + 4 n )(m+n)

8

≥

9

8

，
（当且仅当n=2m时取“=”），当不等式取“=”时，m=

8

3

、n=

16

3

，此时m、n∉N₊，
故分别验证m=2，n=6和m=3，n=5的情形，(

1

m

+

4

n

)min=

17

15

．
故答案为：

17

15

点评：本题考查了数列的概念性质，方程，不等式的运用，属于中档题，难度不大．