Question

{an}满足a₁=4，且a_n=4-

4

an-1

（n＞1），记b_n=

1

an-2

．
（1）求证：{b_n}为等差数列．
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，从而

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，进而bn=

1

2

+bn-1，由此能证明{b_n}为等差数列，公差为

1

2

．
（2）由b1=

1

a1-2

=

1

2

，得bn=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，由此能求出a_n=

2

n

+2．

解答： （1）证明：∵{a_n}满足a₁=4，且a_n=4-

4

an-1

（n＞1），
∴an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
∵b_n=

1

an-2

，∴bn=

1

2

+bn-1，
∴b_n-b_n-1=

1

2

，
∴{b_n}为等差数列，公差为

1

2

．
（2）解：b1=

1

a1-2

=

1

2

，
∴bn=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．