Question

3．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的纵坐标分别为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
（1）求α-β；
（2）求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义和平方关系，求出α、β的正弦和余弦值，由α、β的范围求出α-β的范围，由两角差的正弦公式求出sin（α-β），在求出α-β的值；
（2）由（2α-β）=（α-β）+α和两角和的余弦公式，求出cos（2α-β）的值．

解答 解：（1）由题意得，$sinα=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$sinβ=\frac{3\sqrt{10}}{10}$…2
∵sin²α+cos²α=1，∴cos²α=1-sin²α=$\frac{20}{25}$，
又α是锐角，则cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…3
同理可求，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；…4
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$0＜β＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，…5
且sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$…7
∴α-β=-$\frac{π}{4}$；…8
（2）由（1）得cos（α-β）=cos（$-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…9
∴cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]
=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-（-\frac{\sqrt{2}}{2}）×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．…12

点评 本题考查了三角函数的定义和平方关系，两角差的正弦公式，以及两角和的余弦公式，注意角的范围，考查角之间的关系，以及化简、计算能力．