Question

11．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C分别是三角形的内角．
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
（2）求证：tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{B}{2}$tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{C}{2}$tan$\frac{A}{2}$为定值．

Answer 1

分析 （1）根据内角和定理得A+B=π-C，代入两角和的正切公式化简即可得证．
（2）在△ABC中，A+B+C=π，逆用两角和的正切，可得（tan $\frac{B}{2}$+tan $\frac{C}{2}$）=tan（ $\frac{B}{2}$+$\frac{C}{2}$）（1-tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$）=cot $\frac{A}{2}$（1-tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$），即可证得结论成立

解答 证明：（1）左边=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}（1-tanAtanB）+tanC$
=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC
=tan（π-C）（1-tanAtanB）+tanC
=-tanC+tanAtanBtanC+tanC
=tanA•tanB•tanC=右．
得证．
（2）在△ABC中，∵A+B+C=π，
∴tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{B}{2}$tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{C}{2}$tan$\frac{A}{2}$
=tan$\frac{A}{2}$•tan（ $\frac{B}{2}$+$\frac{C}{2}$）（1-tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$）+tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$
=tan $\frac{A}{2}$•cot $\frac{A}{2}$（1-tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$）+tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$
=（1-tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$）+tan $\frac{B}{2}$tan $\frac{C}{2}$
=1（定值）．

点评 本题考查三角函数的化简和证明，考查诱导公式和两角和的正切公式的运用，属于基础题．