Question

15．如图，A，H在圆上，过点H作圆的切线BC，AB，AC分别交圆于点M，N．
（1）求证：HB•HM•CN=HC•HN•BM；
（2）若AH为圆的直径，求证：△AMN∽△ACB．

Answer 1

分析 （1）由BC与圆相切于点H，利用切割线定理可得：$\frac{H{B}^{2}}{H{C}^{2}}$=$\frac{BM•BA}{CN•CA}$，即：HB•CN•（HB•CA）=HC•BM•（HC•BA）．由∠BNM=∠BAH，∠B公用，可得△BHM∽△BAH，$\frac{HB}{AB}=\frac{HM}{AH}$．同理可得，$\frac{HC}{AC}=\frac{HN}{AH}$．即可证明．
（2）连接HM，利用圆的切线的性质、直径的性质可得：B，C，N，M四点共圆，即可证明．

解答 证明：（1）∵BC与圆相切于点H，∴HB²=BM•BA，HC²=CN•CA，
∴$\frac{H{B}^{2}}{H{C}^{2}}$=$\frac{BM•BA}{CN•CA}$，可得：HB•CN•（HB•CA）=HC•BM•（HC•BA），（*）
∵∠BNM=∠BAH，∠B公用，∴△BHM∽△BAH，∴$\frac{HB}{AB}=\frac{HM}{AH}$．
同理可得，∴△CHN∽△CAH，∴$\frac{HC}{AC}=\frac{HN}{AH}$．
∴$\frac{HB•CA}{HC•BA}$=$\frac{HM}{HN}$，代入（*）可得：HB•HM•CN=HC•HN•BM．
（2）连接HM，
∵AH为圆O的直径，BC与圆O相切于点H，∴AH⊥BC，
∴∠AMH=90°，∠AHM=∠B，
∵∠AHM=∠ANM，∴∠ANM=∠B，
∵∠ANM为四边形BCNM的一个外角，
∴B，C，N，M四点共圆；
可得：∠ANM=∠B，∠AMN=∠C，
∴△ABC∽△ANM．

点评 本题考查了圆的性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质定理、四点共圆的判定与性质、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．