Question

已知函数f(x)=2sin(x-

π

3

)cosx+sinxcosx+

3

sin2x（x∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=

3

，AC=4

3

，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin(2x-

π

3

)．由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，可得单调递增区间．
（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．又0＜B＜

π

2

，则可求得B=

π

3

，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，可得4

3

＜BC≤8．故可得周长最大值．

解答： 解：（1）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
∴单调递增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z

（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．又0＜B＜

π

2

，则-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，
从而2B-

π

3

=

π

3

，
∴B=

π

3

．
由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，
∴AD+DC=BD+DC=BC，
在△ABC中，由正弦定理，得

4 3

sin π 3

=

BC

sin∠BAC

，即BC=8sin∠BAC．
∵D是BC边上一点，
∴

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin∠BAC≤1，知4

3

＜BC≤8．
当∠BAC=

π

2

，C=

π

6

时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为8+4

3

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．