Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

（Ⅰ）若f（θ）=1，求cos（

2

3

π-θ）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由倍角公式化简可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由已知可得

3

sin

θ

2

=1-cos

θ

2

，平方整理从而解得：cos

θ

2

=1，或者-

1

2

，由倍角公式可求cosθ，即可求sinθ，从而由诱导公式，两角差的正弦公式可求cos（

2

3

π-θ）的值．
（Ⅱ）利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化简可得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

从而得到

A

2

+

π

6

 的范围，进而得到函数f（A）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

∵f（θ）=1，
∴sin（

θ

2

+

π

6

）=

1

2

，
可得

3

sin

θ

2

=1-cos

θ

2

，
平方整理可得：2cos²

θ

2

-cos

θ

2

-1=0，
从而解得：cos

θ

2

=1，或者-

1

2

∴cosθ=2cos²

θ

2

-1=1或者-

1

2

∴sinθ=0或者±

3

2

∴cos（

2

3

π-θ）=cos（

π

2

+

π

6

-θ）=sin（θ-

π

6

）=

3

2

sinθ-

1

2

cosθ=-

1

2

或者1．

（Ⅱ）∵f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
∴可得0＜A＜

2π

3

．
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1
故函数f（A）的取值范围是（1，

3

2

）．

点评：本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．