Question

6．已知在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x-1）²+y²=4
（Ⅰ）过点$A（2，\sqrt{3}）$做圆的切线，求切线方程．
（Ⅱ）求过点B（2，1）的圆的弦长的最小值，并求此时弦所在的直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据点$A（2，\sqrt{3}）$在圆C上，求出直线CA的斜率，即可得出所求切线的斜率与方程；
（Ⅱ）根据点B在圆C内，求出圆心C到点B的距离，利用勾股定理求出过点B的圆的弦长的最小值，再根据垂直关系得出所求弦所在直线的斜率．

解答 解：（Ⅰ）平面直角坐标系xoy中，圆C：（x-1）²+y²=4的圆心C（1，0），
且点$A（2，\sqrt{3}）$在圆C上，
∴直线CA的斜率是k_CA=$\frac{\sqrt{3}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
∴所求切线的斜率为k_l=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
切线方程是y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
化简为x+$\sqrt{3}$y-5=0；
（Ⅱ）点B（2，1）在圆C内，
圆心C到点B的距离是d=$\sqrt{{（2-1）}^{2}{+（1-0）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
且半径为r=2；
所以过点B的圆的弦长的最小值是：
l=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又直线CB的斜率为k_CB=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴所求直线的斜率为k=-1，
方程我y-1=-1（x-2），化简得x+y-3=0．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线垂直与勾股定理的应用问题，是综合性题目．