Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是线段A₁C₁上的动点，则异面直线BP与B₁C所成角的取值范围为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与B₁C所成角的取值范围．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），
设A₁C₁的中点为O，则O（1，1，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BO}$=（-1，-1，2），
设异面直线BP与B₁C所成角为θ，
当P与A₁重合时，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{A}_{1}}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，θ=$\frac{π}{3}$；
当P与O重合时，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{BO}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当P与C₁重合时，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{|0|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=0，$θ=\frac{π}{2}$，此时BP与B₁C共面．
∴异面直线BP与B₁C所成角的取值范围为[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$）．
故答案为：[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查线面角取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．