Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）证明：当x＞1时f（x）为增函数．

2

2

＜x＜1，f（x）为减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数定义，和函数式子求解．
（2）运用单调性的定义证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
等式

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

恒成立，即c=0，
又f（1）=2，f（2）＜3．即a+1=2b且

4a+1

2b

＜3
解得：0＜b＜

3

2

又a，b，c∈Z，所以a=1，b=1，c=0，
f（x）=x+

1

x

．
（2）设x₁＞x₂＞1，f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵x₁＞x₂＞1，∴x₁-x₂＞0，

x1x2-1

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判断：当x＞1时f（x）为增函数．
设

2

2

＜x₁＜x₂＜1时f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵

2

2

＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜0，

x1x2-1

x1x2

＜0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判断：当时

2

2

＜x＜1，f（x）为减函数．

点评：本题考察了函数奇偶性，单调性定义的运用．