Question

已知α，β满足等式

α3-3α2+5α=1 β3-3β2+5β=5

，试求α+β的值．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由α，β所满足的等式联想构造函数f（x）=x³-3x²+5x-3，由g（t）=f（t+1）=（t+1）³-3（t+1）²+5（t+1）-3=t³+2t是奇函数，令p+1=α，q+1=β得到f（α）=-2，f（β）=2．从而有g（p）=-g（q），即
p+q=0，而p=α-1，q=β-1．由此可求得α+β的值．

解答： 解：由

α3-3α2+5α=1 β3-3β2+5β=5

，
设f（x）=x³-3x²+5x-3，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）³-3（t+1）²+5（t+1）-3=t³+2t是奇函数．
令p+1=α，q+1=β，
f（α）=g（p）=p³+2p=-2，
f（β）=g（q）=q³+2q=2．
∴g（p）=-g（q）
则p+q=0，
而p=α-1，q=β-1．
即：α-1+β-1=0．
得到：∴α+β=2．

点评：本题考查了函数的性质及其应用，考查了学生的灵活思维能力，解答此题的关键在于构造函数f（x）=x³-3x²+5x-3，是压轴题．