Question

讨论函数f（x）=

ax

1-x2

（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，在（-1，1）上任意取值，再作差、变形，然后，根据式子的特点，对a进行分类讨论判断符号、下结论．

解答： 解：当a＞0时，f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）在（-1，1）上不具有单调性．
证明如下：
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x1）-f（x2）=

ax1

1-x12

-

ax2

1-x22

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x22-1)(x12-1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x12-1＜0，x22-1＜0
∴

(x1 x2+1)(x2-x1)

(x22-1)(x12-1)

＞0，
∴当a＞0时，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有单调性．

点评：本题考查函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形，直到能明显的判断出符号为止，本题属于中档题，注意分类讨论思想在解题中的灵活运用．