Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞2）的离心率为

6

3

，右焦点为F（2

2

，0），斜率为1的直线l交椭圆于A，B，且AB为底边的等腰三解形的顶点为p（-3，2），
（1）求椭圆方程；
（2）求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先，根据离心率和右焦点这两个条件，确定a和b的值，然后，写出该椭圆的标准方程即可；
（2）首先，设出交点A、B的坐标和直线的方程，然后，联立方程组，消去一个未知量，整理成关于一个量的二次方程，结合根与系数的关系求解．

解答： 解：（1）∵e=

c

a

=

6

3

，c=2

2

，
∴a=3，
∴b=

a2-c2

=2，
∴椭圆方程

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），则线段AB的中点Q坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
设直线l的方程为：y=x+m，
联立方程组

y=x+m x2+3y2=12

，
∴4x²+6mx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=-

3

2

m，①
∵

PA

=（x₁+3，y₁-2），

PB

=（x₂+3，y₂-2），
∴

PA

•

PB

=（m+1）（x₁+x₂）+5，
∵k_PQ=-1，
∴

y1+y2 2 -2

x1+x2 2 +3

=-1，
∴y₁+y₂-4=-（x₁+x₂）-6，
∴x₁+x₂=-m-1，②
根据①②得，
m=2，
∴

PA

•

PB

=（m+1）（x₁+x₂）+5=-4，
∴

PA

•

PB

的值为-4．

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，也是高考常考问题，着重理解解题思路和方法．