Question

已知函数f（x）=log_a（

2x2+1

-mx）在R上为奇函数，a＞1，m＞0．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）指出函数f（x）的单调性．（不需要证明）
（Ⅲ）设对任意x∈R，都有f（

2

cosx+2t+5）+f（

2

sinx-t²）≤0；是否存在a的值，使g（t）=a 4t-2^t+1最小值为-

2

3

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）f（-x）=-f（x）可得（

2x2+1

+mx）=（

1

2x2+1 -mx

），即 2x²+1-m²x²=1，由此求得m的值．
（II）由 f（x）=log_a（

2x2+1

-

2

x）=log_a（

1

2x2+1 + 2 x

），可得函数f（x）在R上是减函数．
（III）先由已知条件求得t²-2t-5≤-2，求得-1≤t≤3．令n=2^t，h（n）=g（t）=an²-2n，二次函数h（n）的对称轴方程为n=

1

a

．再根据g（t）最小值为-

2

3

，利用二次函数的性质、分类讨论求得a的值．

解答： 解：（I）f（-x）=-f（x）可得，log_a（

2x2+1

+mx）=-log_a（

2x2+1

-mx）=log_a（

1

2x2+1 -mx

），
∴（

2x2+1

+mx）=（

1

2x2+1 -mx

），即 2x²+1-m²x²=1，∴m²=2，m=

2

．
（II）由（I）知 f（x）=log_a（

2x2+1

-

2

x）=log_a（

1

2x2+1 + 2 x

），
故函数f（x）在R上是减函数．
（III）又对任意x∈R，都有f（

2

cosx+2t+5）+f（

2

sinx-t²）≤0，
∴f（

2

cosx+2t+5）≤-f（

2

sinx-t²）=f（t²-

2

sinx），
∴

2

cosx+2t+5≥t²-

2

sinx，即 t²-2t-5≤

2

sinx+

2

cosx．
由于

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

）≥-2，故 t²-2t-5≤-2，解得-1≤t≤3．
令n=2^t，则n∈[

1

2

，8]，令h（n）=g（t）=a 4t-2^t+1 =an²-2n，二次函数h（n）的对称轴方程为n=

1

a

．
∵a＞1，∴0＜

1

a

＜1．
当0＜

1

a

＜

1

2

时，h（n）在[

1

2

，8]上是增函数，h（n）的最小值为h（

1

2

）=

a

4

-1=-

2

3

，求得a=

4

3

 （舍去）．
当

1

2

≤

1

a

＜1时，h（n）的最小值为h（

1

a

）=-

1

a

=-

2

3

，求得a=

3

2

，满足条件．
综上可得，a=

3

2

．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．