Question

已知f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

），g（x）=

3

cos2x．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式化简函数f（x）解析式，再求出h（x）的解析式，根据正弦函数的单调递增区间求出函数h（x）的增区间；
（Ⅱ）由题意先求出|MN|再由两角差的正弦公式化简，由正弦函数的最大值求出|MN|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）
=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

=2sin2xcos

π

3

=sin2x，（1分）
又g（x）=

3

cos2x，所以h（x）=f（x）g（x）=

3

sin2xcos2x
=

3

2

sin4x，（2分）
由-

π

2

+2kπ≤4x≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，-

π

8

+

kπ

2

≤x≤

π

8

+

kπ

2

（k∈Z），
所以函数h（x）的单调递增区间为(-

π

8

+

kπ

2

，

π

8

+

kπ

2

)，（k∈Z）（4分）
（2）由题意得，|MN|=|f（t）-g（t）|=|sin2t-

3

cos2t|（5分）
=|2sin（2t-

π

3

）|，（7分）
所以|MN|的最大值为2．（8分）

点评：本题考查了两角和差的正弦公式，以及正弦函数的单调性、最值问题．