Question

已知函数f（x）=lnx-ax（x＞0），且f（1）+1=0
（1）求a的值
（2）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程（e=2.718…）
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）直接由f（1）+1=0求解a的值；
（2）把a代入原函数解析式，求导后得到函数在x=e处的导数值，再求出f（e），然后由直线方程的点斜式得答案；
（3）求出原函数的导函数得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调性，从而求得函数的极值，比较端点值后得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），且f（1）+1=0，
则ln1-a+1=0，解得：a=1．
因此，f（x）=lnx-x；
（2）由f（e）=lne-e=1-e，
∴点（e，f（e））的坐标为（e，1-e），
由导数的几何意义，切线的斜率k=f′(x)=

1

x

-1，
∴在点（e，1-e）处的斜率为k=f′(e)=

1

e

-1．
由直线方程的点斜式得：y-（1-e）=(

1

e

-1)(x-e)，
化简得：y=(

1

e

-1)x；
（3）对函数f（x）=lnx-x求导得，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，得：x=1．
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增		减

由表可知当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=-1．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．