Question

8．已知函数$f（x）=\frac{x^3}{3}+{x^2}-3x-\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）用反证法证明：在[-1，1]上，不存在不同的两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），使得f（x）的图象在这两点处的切线相互平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）根据反证法得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=0，推出矛盾，证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f'（x）≥0，解得x≤-3或x≥1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3]，[1，+∞）．
（Ⅱ）假设存在不同的两点满足题意，则${x_1}^2+2{x_1}-3={x_2}^2+2{x_2}-3$，
化简得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=0．
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂+2=0，
又x₁，x₂∈[-1，1]，所以x₁+x₂+2=0，只需x₁=x₂=-1，这显然与x₁≠x₂相矛盾．
所以假设不成立，满足题意的两点是不存在的．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及反证法的应用，是一道中档题．