Question

19．已知点F（-1，0），直线l：x=1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．
（Ⅰ）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程．
（Ⅱ）是否存在过N（-4，-2）的直线m，使得直线m所截得的弦AB恰好被点N所平分．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据点P到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，可得点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为y²=4x；
（Ⅱ）假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式，直线m的斜率存在，设直线m的方程与抛物线方程联立，消去y，利用韦达定理，列出方程求解可得结论；

解答 解：（Ⅰ）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，…（2分）
所以方程为y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=8}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=4}\end{array}\right.$．…（6分）
①当直线m的斜率不存在时，不合题意．…（7分）
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k（x-4），…（8分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k）²=0，（*） …（9分）
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$=8，解得k=1．…（10分）
此时，方程（*）为x²-8x+4=0，其判别式大于零，…（11分）
∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y-2=x-4，即x-y-2=0．…（13分）

点评 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．