Question

3．已知函数$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边长a，b，c成等差数列，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用余弦定理求出B的范围，即得到f（B）的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
化简可得：$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-1=2{sin^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx-1$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2x+\frac{π}{6}∈[{2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}}]$
得$x∈[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$，
∴f（x）的单调递增区间为$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$；
 （2）∵a，b，c成等差数列，可得2b=a+c
由余弦定理：$cosB=\frac{{4{a^2}+4{c^2}-{{（{a+c}）}^2}}}{8ac}=\frac{{3{a^2}+3{c^2}-2ac}}{8ac}≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
（当且仅当a=c时，取等号）
∵0＜B＜π，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$．
∵$f（x）=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
故f（B）=$-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）$．
∵$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
故得：$sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
从而f（B）的取值范围是[-2，-1]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用余弦定理和基本不等式的结合，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．