Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点（1，

3

2

），点A（x_A，y_A），（y_A＞0）是椭圆上一点，连接AF₁，AF₂并延长交椭圆于B，C两点．
（1）求椭圆方程；
（2）若

AF1

=

5

3

F1B

，求点A坐标；
（3）当B，C的纵坐标之比等于2时，求点A坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直接根据待定系数求解其标准方程即可；
（2）首先，设出B点坐标，然后，将涉及到的向量用坐标表示，然后，建立坐标之间的关系，最后，结合椭圆的方程进行求解；
（3）首先，直线AF₁的方程为：x=

xA+1

yA

y-1，然后，代人椭圆方程，结合根与系数的关系，求解，利用B，C的纵坐标之比等于2，建立等式，求解点A的坐标．

解答： 解：（1）根据题意，得
c=1，2a=

3

2

+

5

2

=4，
∴a=2，b=

3

，
∴所求椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴

AF1

=（-1-x_A，-y_A），

F2B

=（x_B-1，-y_B），
∵

AF1

=

5

3

F1B

，
∴

xB=- 3 5 xA- 8 5 yB=- 3 5 yA

，
代人椭圆方程，得

9 25 xA2+ 48 25 xA+ 64 25

4

+

9 25 yA2

3

=1，
∵

9

25

(

xA2

4

+

yA2

3

)=

9

25

，
∴

9

25

+

12

25

xA+

16

25

=1，
∴x_A=0，
∴A（0，

3

）．
（3）设直线AF₁的方程为：
x=

xA+1

yA

y-1，
代人标准方程

x2

4

+

y2

3

=1．并整理，得
（3

(xA+1)2

yA2

+4)y2-6

xA+1

yA

-9=0y²-6

xA+1

yA

y-9=0，
∴y_A•y_B=

-9

3 (xA+1)2 yA2 +4

，
同理，得
y_A•y_C=

-9

3 (xA-1)2 yA2 +4

，
∴

yA•yB

yA•yC

=

3 (xA-1)2 yA2 +4

3 (xA+1)2 yA2 +4

=

15-6xA

15+6xA

=2，
∴30+12x_A=15-6x_A，
解得 x_A=-

5

6

，
∴A（-

5

6

，

357

12

）．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程的确定、待定系数法的应用、平面向量的坐标运算、直线与椭圆的位置关系等知识点，考查比较综合，属于近几年高考热点问题和难点问题．